Задачі з геометрії

1. Точки Е, F, M розміщені відповідно на сторонах AB, BC, AC трикутника ABC. Відрізок AE становить  сторони AB, відрізок BF становить  сторони BC, відрізок AM становить  сторони AC. Знайти відношення площі трикутника EFM до площі трикутника ABC.

2. На продовженнях медіан AK, BL, CM трикутника ABC узято точки P, Q, R так, що  . Знайти площу трикутника PQR, якщо площа трикутника ABC дорівнює одиниці.

3. У трикутнику проведено дві прямі, які паралельні його основі і поділяють бічну сторону у відношенні k : l : m (від вершини до основи). У якому відношенні ці прямі поділяють площу трикутника ?

4. Дві сторони трикутника дорівнюють a і b. Через точку третьої сторони проведено прямі, які паралельні двом даним сторонам трикутника і поділяють його на ромб і два трикутники. У якому відношенні ці прямі поділяють площу даного трикутника ?

5. Знайти відношення площі трикутника до площі іншого трикутника, утвореного з медіан даного трикутника.

6. У трикутнику АВС сторона ВС = а. Точка О поділяє медіану  у відношенні  (від вершини до сторони). Знайти довжину відрізка  , де  і  – точки перетину прямих ВО і СО з двома іншими сторонами трикутника.

7. Через точку, взяту вередині трикутника, проведені прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких є трикутники, площі яких дорівнюють a, b і с. Знайти площу даного трикутника.

8. За стороною а і двома медіанами  і  знайти третю медіану  трикутника АВС.

9. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Знайти бісектрису прямого кута.

10. У трикутнику АВС бісектриса АD поділяє його на два трикутники АВD і АСD, площі яких відносяться, як 1:  . Знайти кути  , якщо  .

11. Знайти довжину відрізка, обмеженого бічними сторонами трапеції, якщо цей відрізок паралельний до основ трапеції і ділить її площу на дві рівні частини.

12. Відстань між основами двох висот ромба, проведених з однієї вершини, удвоє менша від діагоналі ромба. Обчислити кути ромба.

13. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута АВС перетинає сторону AD в точці М, а перпендикуляр, опущений з вершини А на сторону ВС, перетинає ВС у точці N так, що ВN=NС і АМ=2МD. Знайти сторони і площу чотирикутника ABCD, якщо периметр його дорівнює 5+  ,  .

14. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута BAD перетинає сторону ВС у точці М, а бісектриса кута АВС перетинає сторону АD у точці N так, що ВМ=МС, 2АN=ND і АМ  ВN. Знайти сторони і площу чотирикутника ABCD, якщо його периметр дорівнює т. а  .

15. У паралелограмі дано гострий кут  і відстані т і р від точки перетину діагоналей до нерівних сторін. Визначити діагоналі і площу паралелограма.

16. Дано прямокутну трапецію з основами а, b і меншою бічною стороною с. Визначити відстані точки перетину діагоналей трапеції від основи а і від меншої бічної сторони.

17. З вершини тупого кута ромба опущено перпендикуляри на його сторони. Довжина кожного перпендикуляра дорівнює а, відстань між їх основами дорівнює b. Визначити площу ромба.

18. За основами а і b та бічними сторонами с і d трапеції визначити її діагоналі т і п.

19. Дано паралелограм, у якому гострий кут  . Визначити відношення довжин сторін, якщо відношення квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює  .

20. Визначити кути паралелограма, якщо дано дві його висоти  і  і периметр 2р.

21. Обчислити площу спільної частини двох ромбів, діагоналі першого з яких дорівнюють 4 і 6 см, а другий утворено поворотом першого на  навколо його центра.

22. Опуклий чотирикутник розділено діагоналями на чотири трикутники; площі трьох із них дорівнюють 10, 20 і 30  , і кожна менша за площу четвертого трикутника. Знайти площу даного чотирикутника.

23. Площа рівностороннього трикутника, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, удвоє більша за площу цього прямокутного трикутника. Знайти відношення катетів.

24. На кожній медіані трикутника взято точку, яка ділить медіану у відношенні 1:3, починаючи від вершини. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша за площу початкового трикутника ?

25. У рівнобедрений трикутник вписано квадрат одиничної площі, одна сторона якого лежить на основі трикутника. Знайти площу трикутника, якщо відомо, що центроїд трикутника і центр квадрата збігаються.

26. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює третині площі квадрата, побудованого на основі даного трикутника. Бічна сторона трикутника коротша за його основу на 1 см. Знайти сторони і висоту трикутника, проведену до основи.

27. Рівносторонній шестикутник ABCDEF складено з двох трапецій, що мають спільну основу CF. Відомо, що AC=13 см, AE=10 см. Знайти площу шестикутника.

28. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою с зовні цього трикутника побудовано квадрати. Центри цих квадратів сполучено між собою. Знайти площу утвореного трикутника.

29. Даний квадрат із стороною а зрізано по кутах так, що утворився правильний восьмикутник. Визначити площу цього восьмикутника.

30. Дано два правильні трикутники площею S, з яких другий утворено поворотом першого трикутника навколо його центра на кут  . Обчислити площу перетину цих трикутників.

31. У колі радіуса r проведена хорда довжиною 0,5 r. Через один кінець хорди проведена дотична до кола, а через інший – січна, яка паралельна дотичній. Знайти відстань між дотичною і січною.

32. У більшому з двох концентричних кіл проведена хорда довжиною 32 см, яка дотикається до меншого кола. Визначити радіуси обох кіл, якщо ширина утвореного кільця рівна 8 см.

33. Всередині кола радіуса 15 см взято точку М на відстані 13 см від центра. Через точку М проведена хорда довжиною 18 см. Визначити довжини відрізків, на які точка М поділяє хорду.

34. У круговий сектор з центральним кутом  вписано коло. Знайти його радіус, якщо радіус даного кола дорівнює R.

35. З точки поза колом проведені дві січні. Внутрішній відрізок першої дорівнює 47 м, а зовнішній – 9 м. Внутрішній відрізок другої січної на 72 м більший, ніж її зовнішній відрізок. Знайти довжину другої січної.

36. З точки поза колом проведені січна довжиною 20 см і дотична. Знайти довжину дотичної, якщо відношення її зовнішньої частини до внутрішньої рівне  .

37. У колі з центром у точці О проведена хорда АВ, яка перетинає діаметр в точці М і утворює з діаметром кут, рівний  . Знайти ОМ, якщо АМ = 10 см, а ВМ = 4см.

38. Сторона квадрата, вписаного в коло, рівна а. Знайти площу сегмента, який вона відтинає.

39. Круг радіуса R обкладений чотирма рівними кругами так, що кожні два сусідні круга дотикаються один до одного. Знайти площу одного з цих кругів.

40. У точках перетину двох кіл радіусів 4 см і 8 см дотичні до них взаємно перпендикулярні. Визначити площу фігури  , де АВ – спільна дотична до кіл, а  і  – їх центри.

41. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, поділяє гіпотенузу на частини, що дорівнюють 5 см і 7 см. Знайти площу трикутника.

42. Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 24, радіус описаного кола 5, а вписаного – 2.

43. Знайти сторони трикутника, якщо вони є членами арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює 0,25 r, де r – радіус вписаного в трикутник кола.

44. Навколо кола радіуса R описано рівнобедрений трикутник з кутом  . Знайти його сторони.

45. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює  . Знайти основу, якщо висота трикутника більша від радіуса вписаного в нього кола на т.

46. Висоти трикутника дорівнюють  . Визначити радіус кола, вписаного в цей трикутник.

47. У трикутник, сторони якого дорівнюють 5, 6, 7, вписано коло. Знайти відрізки, на які сторони трикутника поділяються точками дотику.

48. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює  . Визначити відношення радіусів описаного та вписаного кіл.

49. Знайти радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник з основою 2а і висотою h.

50. Визначити площу круга, вписаного в прямокутний трикутник, якщо висота, опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, рівні 25,6 см та 14,4 см.

51. Сторони трикутника рівні 25 см, 24 см і 7 см. Визначити радіуси вписаного та описаного кіл.

52. У прямокутному трикутнику дані катет а і радіус r вписаного кола. Знайти гіпотенузу та інший катет.

53. Знайти сторони рівнобедреного трикутника за висотою h та радіусом вписаного кола r.

54. Обчислити сторони рівнобедреного трикутника, якщо радіуси вписаного і описаного кіл рівні 3 см і 8 см відповідно.

55. Катети прямокутного трикутника рівні 3 см і 4 см. Знайти відстань між центрами вписаного і описаного кіл.

56. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а проекція другого катета на гіпотенузу рівна 16 см. Знайти радіус кола, вписаного в цей трикутник.

57. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику з колом ділить один з катетів трикутника на відрізки довжиною 6 см і 10 см, рахуючи від вершини прямого кута. Знайти площу трикутника.

58. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює а, а радіус описаного навколо цього кола трикутника дорівнює r. Знайти довжину бісектриси кута, утвореного цим катетом і гіпотенузою.

59. Радіус описаного навколо прямокутного трикутника кола дорівнює R, а радіус вписаного в цей трикутник кола – r. Знайти довжину катетів.

60. У трикутнику АВС  а висота, опущена на сторону АС, рівна h. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника АВС.

61. Навколо кола радіуса r описана прямокутна трапеція, найменша із сторін якої рівна  . Визначити площу трапеції.

62. Центр кола, вписаного в прямокутну трапецію, знаходиться від кінців бічної сторони на відстанях 2 см і 4 см. Знайти площу трапеції.

63. Визначити гострий кут ромба, знаючи його площу Q та площу вписаного в нього круга S.

64. У коло вписано правильний 2n-кутник; навколо цього ж кола описаний правильний n-кутник. Площі цих многокутників відрізняються на Р. Визначити радіус кола.

65. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 1 см і 7 см, а бічна сторона 5 см. Знайти площу круга, описаного навколо цієї трапеції.

66. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють a і b, а бічна сторона l. Знайти радіус кола, описаного навколо цієї трапеції.

67. У рівнобічну трапецію вписано коло. Відстань від центра кола до точки перетину діагоналей трапеції відноситься до радіуса кола, як  . Знайти відношення периметра трапеції до довжини вписаного кола.

68. Навколо кола радіуса r описано паралелограм. Площа чотирикутника з вершинами в точках дотику кола і паралелограма дорівнює S. Знайти сторони паралелограма.

69. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а кут при більшій основі дорівнює  . Знайти радіус кола, описаного навколо трапеції.

70. Висота рівнобічної трапеції дорівнює h, а бічну сторону видно з центра описаного навколо цієї трапеції кола під кутом  . Знайти площу трапеції.

71. Радіус кола дорівнює R. Визначити площу вписаного в це коло правильного шестикутника.

72. Навколо круга площі Q описано ромб, тупий кут якого дорівнює  . Визначити площу ромба.

73. Навколо кола описана рівнобічна трапеція, площа якої дорівнює  Знайти бічну сторону та основи трапеції, якщо тупий кут дорівнює  .

74. Знайти радіус кола, описаного навколо правильного п’ятикутника, сторона якого рівна а.

75. У рівнобічній трапеції відношення основ рівне 0,75; середня лінія дорівнює її висоті і рівна 7 см. Обчислити радіус кола, описаного навколо трапеції.

76. Знайти діагональ і бічну сторону рівнобічної трапеції з основами 20 см і 12 см, якщо центр описаного кола лежить на більшій основі трапеції.

77. У рівнобічній трапеції дано основи  та висота  Знайти радіус описаного кола.

78. Навколо кола, діаметр якого рівний 15 см, описана рівнобічна трапеція з бічною стороною, рівною 17 см. Знайти основи трапеції.

79. Площа рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, рівна S, а висота трапеції вдвічі менша її бічної сторони. Визначити радіус вписаного кола.

80. У коло радіуса R вписана трапеція, нижня основа якої удвічі більша кожної з решти сторін. Знайти площу трапеції.

81. Коло дотикається до більшого катета прямокутного трикутника, проходить через вершину протилежного гострого кута і має центр на гіпотенузі трикутника. Знайти радіус кола, якщо катети трикутника рівні 5 і 12.

82. Коло дотикається до одного з катетів рівнобедреного прямокутного трикутника і проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайти радіус кола, якщо його центр лежить на гіпотенузі трикутника, а катет трикутника рівний а.

83. Бічна сторона рівнобедреного трикутника рівна 10 см, основа – 12 см. До кола, вписаного в трикутник, проведені дотичні, які паралельні висоті трикутника і відтинають від даного трикутника два прямокутні трикутники. Знайти сторони цих трикутників.

84. Хорда кола, рівна 16 см, знаходиться на відстані 15 см від його центра. Знайти площу трикутника, описаного навколо кола, якщо периметр трикутника рівний 200 см.

85. На стороні рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою с поза цим трикутником побудовані квадрати. Центри цих квадратів з’єднані між собою. Знайти площу утвореного трикутника.

86. Знайти відношення площ квадрата, правильного трикутника та правильного шестикутника, які вписані в одне й те саме коло.

87. На діаметрі 2R півкола побудований правильний трикутник, сторона якого рівна діаметру. Трикутник розміщений по ту сторону від діаметра, що й півколо. Знайти площу тієї частини трикутника, яка лежить поза колом.

88. Гіпотенуза прямокутного трикутника рівна с, а один з гострих кутів дорівнює  . Знайти радіус кола з центром у вершині цього кута, яке ділить трикутник на дві рівновеликі частини.

89. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ = ВС) на основі АС взято точку М так, що АМ = а, МС = b. У трикутники АВМ і СВМ вписані кола. Знайти відстань між точками дотику цих кіл зі стороною ВМ.

90. У паралелограмі зі сторонами а і b і кутом проведені бісектриси чотирьох кутів. Знайти площу чотирикутника, обмеженого бісектрисами.

91. У ромб з висотою h і гострим кутом  вписано коло. Знайти радіус більшого з двох можливих кіл, кожне з яких дотикається до даного кола і двох сторін ромба.

92. На колі радіуса r вибрані три точки таким чином, що коло виявилося розділеним на три дуги, довжини яких відносяться як 3:4:5. У точках поділу до кола проведені дотичні. Знайти площу трикутника, утвореного цими дотичними.

93. Дано відрізок довжини а. Три кола радіуса R  мають центри в кінцях відрізка і в його середині. Знайти радіус четвертого кола, яке дотикається до трьох даних.

94. Дано квадрат зі стороною а. Знайти площу правильного трикутника, одна вершина якого збігається з серединою однієї із сторін квадрата, а дві інші розміщені на діагоналях квадрата.

95. Через вершини А і В трикутника АВС проведено коло радіуса r, яке перетинає сторону ВС у точці D. Знайти радіус кола, що проходить через точки A, D і C, якщо AB = c, AC = b.

96. Сторона AB квадрата ABCD рівна 1 і є хордою деякого кола, до того ж інші сторони квадрата лежать поза цим колом. Довжина дотичної CK, проведеної з вершини C до цього ж кола, рівна 2. Знайти діаметр кола.

97. У паралелограмі ABCD відомі AB = a, BC = b,  . Знайти відстань між центрами кіл, які описані навколо трикутників BCD і DAB.

98. Знайти площу спільної частини двох рівних квадратів зі стороною а і один утворюється з іншого поворотом навколо вершини на кут  .

99. Коло радіуса R проходить через вершини A і B трикутника ABC і дотикається до прямої AC у точці A. Знайти площу трикутника ABC, знаючи, що  і 

100. В прямокутному трикутнику АВС з катетами АВ = 3 і ВС = 4 через середини сторін АВ і АС проведено коло, яке дотикається до сторони ВС. Знайти довжину відрізка гіпотенузи АС, який лежить всередині цього кола.